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<!DOCTYPE html>

<title>Nichtstandardanalysis</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Nichtstandardanalysis</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Nichtstandardanalysis</b> ist ein Gebiet der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a>, das sich mit <a href="Archimedisches_Axiom" title="Archimedisches Axiom">nichtarchimedisch</a> <a href="Geordneter_K%C3%B6rper" title="Geordneter Körper">geordneten Körpern</a> beschäftigt. Der wichtigste Unterschied zur normalen <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> besteht darin, dass in der Nichtstandardanalysis auch <a href="Unendlichkeit" title="Unendlichkeit">unendlich</a> große (infinite) und unendlich kleine (infinitesimale) Zahlen vorkommen, die zusammen mit den reellen Zahlen die <a href="Hyperreelle_Zahl" title="Hyperreelle Zahl">hyperreellen Zahlen</a> bilden.<sup id="cite_ref-weitz-nsa_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-weitz-nsa-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-keisler-nsa_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-keisler-nsa-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Modelltheoretischer_Zugang">Modelltheoretischer Zugang</h2></div>

<p>Neben den in der Standardanalysis üblichen <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> werden so genannte <a href="Hyperreelle_Zahl" title="Hyperreelle Zahl">hyperreelle Zahlen</a> verwendet. Die hyperreellen Zahlen bilden einen geordneten <a href="K%C3%B6rpererweiterung" title="Körpererweiterung">Erweiterungskörper</a> der reellen Zahlen und können damit nicht das <a href="Archimedisches_Axiom" title="Archimedisches Axiom">archimedische Axiom</a> erfüllen. Eine Verletzung dieses Axioms findet hier zum Beispiel durch die so genannten <a href="Infinitesimalzahl" title="Infinitesimalzahl">Infinitesimalzahlen</a> statt, also Zahlen, die näher bei Null liegen als jede von 0 verschiedene reelle Zahl.

</p><p>Das erste Modell einer Nichtstandardanalysis wurde in den 1960er Jahren von <a href="Abraham_Robinson" title="Abraham Robinson">Abraham Robinson</a> entwickelt. Er verwendete es, um einen Satz aus der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> zu zeigen, der besagt, dass jeder polynomial kompakte <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operator</a> in einem <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> einen <a href="Invariante_(Mathematik)" title="Invariante (Mathematik)">invarianten</a> <a href="Unterraum" title="Unterraum">Unterraum</a> besitzt. Allerdings verlangt die Konstruktion des Modells die Verwendung eines freien <a href="Ultrafilter" title="Ultrafilter">Ultrafilters</a> über <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy"></span></a>. Dessen Existenz kann zwar mit Hilfe des <a href="Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxioms</a> bewiesen werden, jedoch kann kein solcher Ultrafilter konkret angeben werden.

</p><p>Unabhängig von Abraham Robinson entwickelten <a href="Detlef_Laugwitz" title="Detlef Laugwitz">Detlef Laugwitz</a> und <a href="Curt_Schmieden" title="Curt Schmieden">Curt Schmieden</a> ab 1958 einen eigenen Zugang zur Nichtstandardanalysis über Körpererweiterungen.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>In der Nichtstandardanalysis können die in der Analysis üblichen Begriffe wie <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> oder <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integral</a> ohne <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Grenzwerte</a> definiert werden. In dieser Hinsicht ist die Nichtstandardanalysis näher bei den Ideen der Begründer der <a href="Infinitesimalrechnung" class="mw-redirect" title="Infinitesimalrechnung">Infinitesimalrechnung</a>, <a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a> und <a href="Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</a>. Die Verwendung von „unendlich kleinen Größen“ in der Nichtstandardanalysis ist jedoch, anders als bei Newton und Leibniz, logisch einwandfrei und ohne bekannte <a href="Kontradiktion" title="Kontradiktion">Widersprüche</a>. Es gibt ferner Anwendungen der Nichtstandardanalysis in der <a href="Stochastik" title="Stochastik">Stochastik</a> und der <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a>.<sup id="cite_ref-weitz-nsa_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-weitz-nsa-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-keisler-nsa_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-keisler-nsa-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Axiomatische_Zugänge"><span id="Axiomatische_Zug.C3.A4nge"></span>Axiomatische Zugänge</h2></div>

<p>Neben dem <a href="Modelltheorie" title="Modelltheorie">modelltheoretischen</a> Zugang existieren noch verschiedene <a href="Axiom" title="Axiom">axiomatische</a> Zugänge, die sich untereinander stark unterscheiden.

</p><p>Anmerkung: Die vorhandene Literatur ist fast ausschließlich in <a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englischer Sprache</a>, zudem werden die Theorien gewöhnlich mit ihren Abkürzungen bezeichnet. Daher haben sich bisher teilweise keine deutschen Fachbegriffe durchgesetzt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hrbacek’sche_Mengenlehre"><span id="Hrbacek.E2.80.99sche_Mengenlehre"></span>Hrbacek’sche Mengenlehre</h3></div>

<p>In der <i>HST</i> (Hrbacek Set Theory) von <a href="Karel_Hrb%C3%A1%C4%8Dek" title="Karel Hrbáček">Karel Hrbáček</a> wird die modelltheoretische Vorstellung fast exakt übernommen. Dazu führt man drei <a href="Klasse_(Mengenlehre)" title="Klasse (Mengenlehre)">Klassen</a> von <a href="Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">Objekten</a> ein, die der wohlfundierten <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Mengen</a>, die der internen Mengen und die der Standardmengen. Die Klassen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle WF}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle WF}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da8965c1537eb7a6466a34de35fe987fc5f5fe21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.176ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle WF}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"></span> folgen dabei unterschiedlichen Axiomen, z. B. gilt das Auswahlaxiom nur innerhalb dieser Mengen, nicht aber für Mengen, die in keiner dieser Klassen enthalten sind (externe Mengen).

</p><p>Die Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ast }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ast }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1858484bef51b1435c2b986c728a81788051803.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.079ex; margin-bottom: -0.25ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \ast }" loading="lazy"></span>, die im modelltheoretischen Zugang das ursprüngliche mit dem erweiterten <a href="Struktur_(erste_Stufe)" title="Struktur (erste Stufe)">Universum</a> verbindet, ist hier ein <a href="Mathematische_Struktur" title="Mathematische Struktur">Struktur</a><a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">isomorphismus</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle WF\rightarrow S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle WF\rightarrow S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/860fa7f08bd75ef9c29c6951f051cc7af262ce50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.289ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle WF\rightarrow S}" loading="lazy"></span>, also eine Abbildung, die Objekte so verbindet, dass <a href="Aussage_(Logik)" title="Aussage (Logik)">logische Aussagen</a> erhalten bleiben. Beispielsweise ist <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \in WF}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \in WF}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7940b77ff591b6c488f6eeb4c221bc803d15bca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.695ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \in WF}" loading="lazy"></span></a> ein vollständiger, archimedisch geordneter Körper, also ist auch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} \in S}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} \in S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a35a21111c4c1dd539e7cda712964f5bcdf413e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.072ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} \in S}" loading="lazy"></span> ein vollständiger (bezüglich Hyperfolgen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} \rightarrow {}^{\ast }\mathbb {R} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} \rightarrow {}^{\ast }\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a07b7aabb86649253c8214cf029ce94617da551c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.079ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} \rightarrow {}^{\ast }\mathbb {R} }" loading="lazy"></span>), archimedisch geordneter (bezüglich hypernatürlichen Zahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bac8d92fb53920b83e938bdac7c6e13676a88cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} }" loading="lazy"></span>) Körper.

Die Menge der hypernatürlichen Zahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bac8d92fb53920b83e938bdac7c6e13676a88cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} }" loading="lazy"></span> besteht dabei aus den natürlichen Zahlen, sowie aus unendlich großen ganzen Zahlen.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Mit diesem Hintergrund kann man die Mathematik wie üblich aus der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a> aufbauen, erhält dabei aber ganz automatisch das erweiterte Universum.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Internal_Set_Theories">Internal Set Theories</h3></div>

<p>Diese Theorien beschränken die Betrachtungen auf das erweiterte Universum (der internen Mengen), indem innerhalb der „üblichen Mathematik“ Standardobjekte ausgezeichnet werden. Wie sich diese Standardobjekte verhalten, wird durch Axiome festgelegt. Weit verbreitet ist etwa das Transferaxiom: Wenn eine Aussage in der Sprache der klassischen Mathematik für alle Standardobjekte zutrifft, dann trifft sie auch für alle Objekte zu.

</p><p>Die Entsprechung im modelltheoretischen Zugang wäre: Wenn eine Aussage im ursprünglichen Universum zutrifft, dann trifft sie auch im (strukturisomorphen) erweiterten Universum zu.

</p><p>Die bekannteste Theorie interner Mengen ist die <a href="Interne_Mengenlehre" title="Interne Mengenlehre">Interne Mengenlehre</a> von <a href="Edward_Nelson" title="Edward Nelson">Edward Nelson</a>. Sie ist aber nicht mit der Theorie von Hrbáček vereinbar, denn in IST existiert eine Menge, die alle Standardobjekte enthält. Allerdings muss <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"></span> in HST (siehe oben) eine echte Klasse sein.

</p><p>Daher werden auch schwächere Theorien betrachtet (Bounded Set Theory, Basic Internal Set Theory und – in der Fachwelt wenig beachtet – die überarbeitete Version von Nelsons IST), die ebenfalls unter dem Sammelbegriff „Theorien interner Mengen“ („internal set theories“) zusammengefasst werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel:_Definition_der_Stetigkeit">Beispiel: Definition der Stetigkeit</h2></div>

<p>Die <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">Stetigkeit</a> einer <a href="Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion">reellen Funktion</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> in einem Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"></span> kann in der Standardanalysis so definiert werden:

</p>

<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \colon \left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon }">

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \colon \left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/075d08379f277ce60fb566ee869b3506ce56350d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:56.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \colon \left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>In der Nichtstandardanalysis kann man sie so definieren: Ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> eine Funktion und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"></span> ein Standardpunkt, dann ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"></span> genau dann S-stetig, wenn

</p>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in {}^{*}\mathbb {R} \colon x\approx x_{0}\Rightarrow f(x)\approx f(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa0c96eef8aa5a008fd8b36b8a04b30e5f793646.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.643ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in {}^{*}\mathbb {R} \colon x\approx x_{0}\Rightarrow f(x)\approx f(x_{0})}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f5c9fcdf7653b2b2991bcb1a39cc45af40abe58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }" loading="lazy"></span> der in der Nichtstandardanalysis erzeugte Erweiterungskörper von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> ist und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\approx y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\approx y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aad656b6c009dbc111be61d5ab821ff8e8927e93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x\approx y}" loading="lazy"></span> bedeutet, dass die (Nichtstandard-)Zahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span> einen infinitesimalen Abstand haben.

</p><p>Diese beiden Definitionen beschreiben allerdings unterschiedliche Konzepte: Es lassen sich Beispiele für Nichtstandardfunktionen angeben, die (nach der Epsilon-Delta-Definition) unstetig sind, z. B. i-kleine Sprünge aufweisen, aber (nach der Infinitesimaldefinition) S-stetig sind, oder umgekehrt, z. B. wenn ein Abschnitt der Funktion eine i-große Steigung aufweist. Nur für Standardfunktionen sind beide Stetigkeitsbegriffe äquivalent.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Detlef Laugwitz, Curt Schmieden: Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung. <i>Mathematische Zeitschrift</i> 69 (1958), S. 1–39.</li>

<li><a href="Abraham_Robinson" title="Abraham Robinson">Abraham Robinson</a>: Nonstandard Analysis. <i>Studies in Logic and the Foundations of Mathematics</i>. North-Holland, Amsterdam 1966.</li>

<li><a href="Wilhelmus_Luxemburg" title="Wilhelmus Luxemburg">Wilhelmus Anthonius Josephus Luxemburg</a>: A general Theory of Monads, in W. A. J. Luxemburg (Ed.): <i>Applications of Model Theory of Algebra, Analysis and Probability</i>. Holt, Rinehart & Winston, New York 1969, S. 18–86.</li>

<li>Dieter Landers, Lothar Rogge: <i>Nichtstandard Analysis</i>. Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-57115-9.</li>

<li>Vladimir Kanovei, Michael Reeken: <i>Nonstandard Analysis, Axiomatically</i>. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-22243-X.</li>

<li>Alain M. Robert: <i>Nonstandard Analysis.</i> Dover, New York 2003. ISBN 978-0-486-43279-3.</li>

<li>Martin Davis: <i>Applied Nonstandard Analysis.</i> Dover, New York 2005. ISBN 978-0-486-44229-7.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-weitz-nsa-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-weitz-nsa_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-weitz-nsa_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=6Fj--9gQ1Qo">Was ist Nichtstandardanalysis? Was sind hyperreelle Zahlen?</a>, <a href="Edmund_Weitz" title="Edmund Weitz">Edmund Weitz</a>, HAW Hamburg, 2017-10-27. Insbesondere der Abschnitt über <a rel="nofollow" class="external text" href="https://youtube.com/6Fj--9gQ1Qo?t=2113">deren axiomatische Einführung</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-keisler-nsa-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-keisler-nsa_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-keisler-nsa_2-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html">Elementary Calculus, An Infinitesimal Approach</a>, <a href="Howard_Jerome_Keisler" title="Howard Jerome Keisler">H. Jerome Keisler</a>, University of Wisconsin, 1976, revidiert 2018.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Curt Schmieden, Detlef Laugwitz: <cite style="font-style:italic">Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematische Zeitschrift</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>69</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>, Dezember 1958, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220025-5874%22&key=cql">0025-5874</a></span>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1–39</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF01187391">10.1007/BF01187391</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/article/10.1007/BF01187391">springer.com</a> [abgerufen am 27. Oktober 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nichtstandardanalysis&rft.atitle=Eine+Erweiterung+der+Infinitesimalrechnung&rft.au=Curt+Schmieden%2C+Detlef+Laugwitz&rft.date=1958-12&rft.doi=10.1007%2FBF01187391&rft.genre=journal&rft.issn=0025-5874&rft.issue=1&rft.jtitle=Mathematische+Zeitschrift&rft.pages=1-39&rft.volume=69" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.matha.rwth-aachen.de/de/lehre/ws12/nsa/ausarbeitungen/Vortrag6.pdf">Christoph Esser: Die Anordnung auf den hyperreellen Zahlen, Vortrag zum Proseminar Nonstandard Analysis, 28.11.2012 </a></i></span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4137021-1">4137021-1</a></span> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85082118">sh85082118</a></span> | <a href="Web_NDL_Authorities" title="Web NDL Authorities">NDL</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00576347">00576347</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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